脱サラたまごクラブ by ちわひ

40代既婚男性が今の雇用と生活水準を維持しながら、脱サラ&副業の可能性を探ります。(★完了 ☆休眠)

Mensa #017 確率:サイコロ

今確率の本を読んでいる。

苦手、というわけでもないが、なんか自分なりにもう少し得意になっててもいいかな、頭の体操になるかな、と思って。

確率の問題を解くのはIQテストを解くことに似ている気がするのでMensaカテゴリにしています。

 

読んでてそこまで新しいことはないのだけど、考え方は改めてためになる。

わかったつもりなのに演習問題はやっぱり難しい気がする。

思考のステップで自信がなくなる瞬間がある。

でも、できたときの嬉しさはちょっと手ごわいIQテストができた時に似ている。

脳の近いところをくすぐっている気がするのでこのカテゴリに入れることにする。

確率の1−2−3

  1. すべてのケースを洗い出し、総ケース数を出す。
  2. そのうちの求めるケースの数を求める。
  3. 求めるケース/総ケース数 = 確率。

もう、これが基本の基本。

わかっているんだ。わかっているんだけども。

順列と組み合わせの違い

  • 順列は、A-BとB-Aを区別するもの
  • 組み合わせはA-BとB-Aを同一とするもの

確率は順列をベースに考える。上記にある「ケース」とは順列のこと。

組み合わせの確率を認める場合は、順列ですべてのケースを出し、どれとどれを同一とするかで確率を出す。

サイコロでウォーミングアップ

サイコロを振って1が出る確率

すべてのケース=6

求めるケース=1

確率=1/6

2つのサイコロを振って1のゾロ目が出る確率

すべてのケース=36

求めるケース=1

確率=1/36

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2つのサイコロを振って少なくとも1つ1が出る確率

すべてのケース=36

求めるケース=11

確率=11/36

求めるケースの求め方

サイコロA=1の時、サイコロB=1,2,3,4,5,6

サイコロB=1の時、サイコロA=1,2,3,4,5,6

赤字は重複なので、全部で11ケースのはず。

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2つのサイコロを振って1つだけ1が出る確率

すべてのケース=36

求めるケース=10

確率=10/36(あえて約分していない)

求めるケースの求め方

サイコロA=1の時、サイコロB=1,2,3,4,5,6

サイコロB=1の時、サイコロA=1,2,3,4,5,6

赤字は重複なので削除、更に青字も条件に合わないので削除。

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3つのサイコロを振って、1,2,3の目がでる確率 

すべてのケース=216

求めるケース=6(1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, 3-2-1)

確率=6/216=1/36

アルファベットが出るクジで3回連続で引いて「CAT」になる確率 

※引いたクジは戻さない、順番は入れ替えない

すべてのケース=26x25x24=15600

求めるケース=1

確率=1/15600

あれ、感覚値と違う!もっと出やすいイメージあるけど。でも合ってるはず。

ちなみにカードの順番を入れ替えても良い場合は、

CAT, CTA, ACT, ATC, TCA, TACの6通りあるので、確率=6/15600=1/2600。 

7種類の宝石をネックレスにして繋げる場合の総ケース数

これは確率ではなく、ケースの数を数えるにとどまるが、それでもなかなか難しい。

円順列というのだそうだ。

ステップ1

まずは普通に順列のケース数は、7! = 7x6x5x4x3x2x1

ステップ2

A-B-C-D-E-F-G

B-C-D-E-F-G-A

は一つずれてるだけで同じものとみなす。

端と端がつながってるから。

違うように見えて同じ物は1つのパターンに対し7つある。

  • A-B-C-D-E-F-G
  • B-C-D-E-F-G-A
  • C-D-E-F-G-A-B
  • D-E-F-G-A-B-C
  • E-F-G-A-B-C-D
  • F-G-A-B-C-D-E
  • G-A-B-C-D-E-F

なので、順列のケース数は1/7になり、7! / 7 = 6x5x4x3x2x1

↑1/7するというのがなんか飛躍している気がして一瞬怯む。

ステップ3

さらに、下のように裏表は同じ

A-B-C-D-E-F-G

G-F-E-D-C-B-A 

と考えれば、順列のケース数は1/2になり、7! / 7/2 = 6x5x4x3x1 = 360

答えは360通り

6つのフレーバーから3つを選ぶ。その組み合わせの数

アイス屋で6つのフレーバーがあってトリプルを頼んだ時のフレーバーの体験の組み合わせパターン数

ただし、順番は問わない。

同じフレーバーを選ばない場合

順列としては6x5x4=120通り。しかしこれは順列なので順番違いが含まれている。

ABCの組み合わせの順番違いバリエーションは

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

の6通り。

だから答えは6x5x4/6=20通り

同じフレーバーを選んでも良い場合

順列としては6x6x6通り(216)。

AAAタイプは6通り(6)。

AABタイプは6x5x3通り(90)。

(AAとBで分ければ6x5, さらにAABの並びは3パターン:AAB, BAA, ABA)

ABCタイプは6x5x4通り(120)。

よし、内訳合ってる。

組み合わせとしては

AAAタイプは6通り(6)。

AABタイプは6x5x3/3/2通り(15)。

(AABタイプとABBタイプを同一とするので1/2する)

(もしくはダブルとして考えても良い。順列数は6x5だが、ABとBAを同一とすれば1/2)

ABCタイプは6x5x4/6通り(20)。

41通り

こちらの方が多いのは違和感があるが、

1種類のフレーバーの体験、2種類のフレーバーの体験、3種類のフレーバーの体験は違うものとして扱う場合

なので問題ない(僕的に)。

 

やばい。おもしろいな〜。